Matematika Peminatan

Pengertian

Hiperbola, adalah himpunan titik-titik pada bidang datar yang selisih jarak terhadap dua titik tertentu selalu sama. Titik tertentu itu disebut fokus. Hiperbola merupakan bangun datar yang diperoleh dengan mengiris bangun ruang kerucut yang saling bertolak belakang memotong tegak lurus bangun kerucut tersebut, tetapi tidak memotong puncak kerucut.

Persamaan Hiperbola dengan Pusat O(0,0)

Persamaan Hiperbola dengan Titik Fokus Terletak pada Sumbu x

Persamaan hiperbola dengan pusat O(0,0) dengan titik fokus terletak pada sumbu x memiliki persamaan hiperbola sebagai berikut:

      x^2/a^2 -  y^2/b^2 =1  

Keterangan:

Koordinat titik pusat O(0,0)

Koordinat titik puncak A1 (a,0)    dan A2 (-a,0)

Titik fokus F1 (c,0) dan F2 (-c,0)

Panjang latus rektum L =   〖2b〗^2/a 

Eksentrisitas e = c/a

Persamaan direktriks x= ±a^2/c

Persamaan asimtot y = ±b/a x

Persamaan sumbu simetri x = 0

Contoh soal:

Diketahui persamaan hiperbola 〖4x〗^2-9y^2=36 . Tentukanlah:

Koordinat titik pusat

Koordinat titik puncak

Koordinat fokus

Persamaan garis direktriks

Persamaan garis asimtot

Panjang latus rectum

Eksentrisitas

Jawab:

〖4x〗^2-9y^2=36

〖4x〗^2/36-  (9y^2)/36=36/36 a^2=9 ↔a=3

  x^2/9-  y^2/4=1 b^2=4 ↔b=2

Koordinat titik pusatnya adalah (0,0)

Koordinat titik puncaknya (a,0) dan (-a,0) adalah (3,0) dan (-3,0)

Koordinat titik fokusnya 

c= √(a^2+b^2 )

   = √(9+4 )= √13

F1 (c,0) dan F2 (-c,0) adalah F1 (√13,0) dan F2 (-√13,0)

Persamaan garis direktriksnya adalah

x= ±a^2/c

x= ±3^2/√13  = ±9/√13

Persamaan garis asimtot

y=±b/a x

y=±2/3 x

Panjang latus rectum

L=   〖2b〗^2/a

L=  〖2 .  3〗^2/2 =  9

Eksentrisitas

e=  c/a=  √13/3  

Persamaan Hiperbola dengan Titik Fokus Terletak pada Sumbu y

Persamaan hiperbola dengan pusat O(0,0) dengan titik fokus terletak pada sumbu y memiliki persamaan hiperbola sebagai berikut:

        y^2/a^2 -  x^2/b^2 =1    

Keterangan:

Koordinat titik pusat O(0,0)

Koordinat titik puncak A1 (0,a)  dan A2 (0, -a)

Titik fokus F1 (0,c) dan F2 (0,-c)

Panjang latus rektum L =   〖2b〗^2/a 

Eksentrisitas e = c/a

Persamaan asimtot y = ±b/a x

Persamaan sumbu simetri y = 0

Contoh soal:

Persamaan hiperbola yang berpusat di (0,0), fokus (0,±2√3), dan panjang sumbu minor 4 satuan adalah …

Jawab:

Diketahui panjang sumbu minor = 4, maka:

2b=4

  b=2 

Titik fokus (0,±2√3), maka c^2=〖(2√3)〗^2  

c =  12

a^2= c^2- b^2

a  =12-4=8

Jadi persamaan hiperbolanya adalah  y^2/8-  x^2/4=1

Persamaan Hiperbola dengan Pusat P(p,q)

Persamaan Hiperbola dengan Titik Fokus Terletak pada Sumbu x

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik P(p, q) dengan sumbu utamanya sejajar dengan sumbu x adalah:

      (x-p)^2/a^2 -  (y-q)^2/b^2 =1  

Unsur-unsur penyusun dari suatu hiperbola dengan pusat P(p,q) adalah sebagai berikut:

Titik pusat P(p,q)

Titik fokus F1(p + c, q) dan F2(p – c, q)

Titik puncak A1(p + a, q) dan A2 (p – a, q)

Nilai eksentrisitas e=  c/a

Persamaan direktriks x=p ±a^2/c  

Persamaan asimtot (y-q)= ±b/a  (x-p)

Persamaan sumbu simetri utama y = q

Persamaan sumbu simetri sekawan x = p

Panjang latus rectum L =  〖2b〗^2/a

Contoh soal:

Diketahui hiperbola dengan persamaan 〖(x - 2)〗^2/16-  (y + 1)^2/9=1

Tentukan:

Koordinat titik pusat, koordinat titik puncak dan koordinat fokus.

Persamaan sumbu utama, persamaan sumbu sekawan, panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor.

Persamaan garis asimtot, nilai eksentrisitas dan persamaan garis direktris.

Panjang latus rektum

Jawab:

p=2 dan q= -1

a^2=16 ↔a=4

b^2=9 ↔b=3

c= √(a^2+b^2 )= √(16+9)= √25=5

Koordinat titik pusatnya di titik P (p , q) adalah (2, -1)

Koordinat titik puncak A1 (p + a , q) dan A2 (p – a , q) adalah A1 (6, -1) dan A2 (-2, -1)

Koordinat fokus F1 (p + c , q) dan F2 (p – c , q) adalah F1 (7, -1) dan F2 (-3, -1) 

Panjang sumbu utama y = -1 dan sumbu sekawan x = 2

Panjang sumbu mayor 2a = 2 (4) = 8

Panjang sumbu minor 2b = 2 (3) = 6

Persamaan garis asimtot (y-q)= ±b/a  (x-p)

     (y+1)= ±3/4  (x-2)

(y+1)=  3/4  (x-2) atau (y+1)= -3/4  (x-2)

(y+1)=  3/4 x-  3/2 atau (y+1)= -3/4 x+  3/2 (dikali 4)

4(y+1)= 3x-6 atau 4(y+1)= -3x+6

4y+4=3x-6 atau 4y+ 4=-3x+6

3x-4y-10=0 atau 3x-4y-2=0

Nilai eksentrisitas e=  c/a=  5/4

Persamaan garis direktriks x=p ±a^2/c

x=2 ±4/(5/4)

x=2 ±  16/5

Panjang latus rectum L =  〖2b〗^2/a

    L =  (2 .  9)/4=9/2

Persamaan Hiperbola dengan Titik Fokus Terletak pada Sumbu y

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik P(p, q) dengan sumbu utama sejajar dengan sumbu y adalah:

      (y-q)^2/a^2 -  (x-p)^2/b^2 =1  

Unsur-unsur penyusun dari suatu hiperbola dengan pusat P(p,q) adalah sebagai berikut:

Titik pusat P(p,q)

Titik fokus F1(p, q + c) dan F2 (p, q – c)

Titik puncak A1(p, q + a) dan A2(p, q – a)

Nilai eksentrisitas e=  c/a

Persamaan direktriks x=p ±a^2/c  

Persamaan sumbu simetri utama x = p

Persamaan sumbu simetri sekawan y = q

Persamaan asimtot (y-q)= ±b/a  (x-p)

Panjang latus rektum L =  〖2b〗^2/a

Contoh soal:

Sebuah hiperbola mempunyai persamaan 9x^2-4y^2-36x-8y+68=0

Tentukan:

Titik pusat

Titik puncak

Titik fokus

Jawab:

9x^2-4y^2-36x-8y+68=0

9x^2-36x-4y^2-8y= - 68

9(x^2-4x+4)-4(y^2+2y+1)= - 68+36- 4

9〖(x - 2)〗^2-4 (y+1)^2= -36

4 〖(y+1)〗^2-9 (x-2)^2=36

〖4 (y+1)〗^2/36-  〖9 (x-2)〗^2/36=  36/36

〖(y+1)〗^2/9-  (x-2)^2/4=1

a^2=9 ↔a=3 c= √(a^2+b^2 )

b^2=4 ↔b=2 c = √(9+4)= √13

Titik pusat hiperbola dititik P(p , q) adalah (2, -1)

Titik puncak hiperbola A1 (p , q + a) dan A2 (p , q – a) adalah A1 (2 , 2) dan A2 (2 , - 4)

Titik fokus parabola F1  (p , q + c) dan F2 (p , q – c) adalah F1 (2 ,1+ √13) dan F2 (2 ,1- √13)

Persamaan Garis Singgung Hiperbola

Persamaan Garis Singgung Hiperbola sebuah garis digambarkan pada sebuah hiperbola. Salah satu kedudukan yang mungkin antara garis itu dan hiperbola adalah garis menyinggung hiperbola. 

Pada gambar tersebut garis g menyinggung hiperbola pada titik R(x1, y1)

Persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada hiperbola

Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung pada titik (9, 2) yang terletak pada hiperbola 

(y + 2)248 − (x − 5)212 = 1

Penyelesaian:

(y 1− q)(y − q)a2 − (x1 − p)(x − p)b2= 1(2+ 2)(y + 2)48 − (9 − 5)(x − 5)12= 1(y + 2)12 − (x − 5)3= 1

y – 4x + 10 = 0

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y – 4x + 10 = 0.

Persamaan Garis Singgung yang bergradien m pada Hiperbola

Misalkan garis g yang menyinggung hiperbola tersebut bergradien m, maka:

Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien 1 pada hiperbola 

      x^2/100-  y^2/64=1  

Penyelesaian:

 

Gradien m = 1

Persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut.

 y=mx±√(a^2 ) m^2-b ^2

     =x±√(100.1-64)

     =x±√36

     =x±6

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = x + 6 atau y = x – 6.